一，共振的數學模型：

• 彈簧—質量—阻尼系統

• 如圖
• 標準形式：
• 設阻尼常數，彈性常數，表示彈簧振蕩的角速度，
• 原方程化為：
• 假設阻尼系數，方程右側輸入的驅動項，驅動角速度
• （注：視頻中的，這里用表示，以便區別第三節的阻尼角速度）
• 方程為：
• 方程左邊換成線性算子式：
• 方程右邊復數化：是的實部，將代替
• 方程化簡為：，表示復數解，
• 因為
• 指數輸入定理
• 取出實部：
• 幅度：；響應角速度即驅動角速度：
• 當不斷趨近時，趨于無窮大
• 如圖1：
• 假設驅動角速度
• 方程為：，
• 是的一個單根
• ，視為常數
• 指數輸入定理
• 取出實部：
• 幅度：；響應角速度即彈簧角速度：
• 振幅和時間t成正比，當時振幅為0
• 如圖2：

二，當不斷趨近時，怎么會從圖1突然變成圖2？

• 圖1和圖2是方程的兩個特解，而且差別很大，現在來求它們的通解：
• 方程：
• 伴隨方程：
• 特征方程：
• 特征解：
• 根據定理（第九講第三節）：，
• 通解：
• 設，
• 通解化為：
• 當不斷趨近：
• 洛必達法則：
• 下面求通解的圖像：
• 和差化積公式：
• 同理：
• 通解：
• 當不斷趨近時：，表示響應振蕩
• 表示振幅邊界，表示振幅邊界的角速度，當不斷趨近時越來越小
• 如圖3：見視頻30:00~33:00，當不斷趨近時，圖3逐漸變成圖2

三，假設阻尼系數，，驅動項為：

• 方程為：
• 表示彈簧角速度
• 表示阻尼角速度（偽角速度，見第十講第三節）
• 定理：（勾股定理）
• 是固定的，阻尼p越大，阻尼角速度就越小；阻尼p越小，阻尼角速度就越接近彈簧角速度
• 假設驅動項：
• 方程為：
• 只有當沒有阻尼的時候，才能產生共振，如第一節所述
• 什么情況下，驅動角速度能使響應頻率的振幅最大？
• 答：當共振角速度接近阻尼角速度時，即：當時。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的第十四讲 共振的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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