卷積

$h(t)?x(t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(\tau )x(t?\tau )d\tau$

令$\tau =u+\frac{t}{2}$，則

$h(t)?x(t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(u+\frac{t}{2})x(?u+\frac{t}{2})du$

$h(t)?x(?t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(u+\frac{t}{2})x(u?\frac{t}{2})du$

序列傅里葉變換(SFT)性質

SFT[1]=$2\pi \tilde{\delta }(\omega )$，其中$\tilde{\delta }(\omega )$為以$2\pi$為周期的周期單位沖激函數。
SFT[$e^{j{\omega }_{0}n}$]=$2\pi \tilde{\delta }(\omega ?{\omega }_0)$

周期為$N$的周期序列$\tilde{x}(n)$的序列傅里葉變換

$X(e^{j\omega })=\frac{2\pi }{N}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\omega ?\frac{2\pi }{N}k)$ （$P_{76}$）

令$\tilde{x}(t)$為

$$\tilde{x}(t)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }\tilde{x}(n)\delta (t?n{T}_0)$$

是由$x(t)$以$T$為周期進行延拓后以$T_0$為間隔進行采樣得到的。$\tilde{x}(n)$周期為$N$，即每個周期有$N$個采樣點，則$\tilde{x}(t)$是周期為$T=N{T}_0$的采樣信號，是連續信號，其傅里葉變換為。

$$\begin{gathered} \tilde{X}(j\Omega )={X(e^{j\omega })|}_{\omega =\Omega T_0} \\ =\frac{2\pi }{N}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega T_0?\frac{2\pi }{N}k) \\ =\frac{2\pi }{N{T}_0}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega ?\frac{2\pi }{N{T}_0}k) \\ =\frac{2\pi }{T}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega ?\frac{2\pi }{T}k) \end{gathered}$$

那么$T\tilde{x}(t)?\sum _{k=?\infty }^{+\infty }2\pi \tilde{X}(k)\delta (\Omega ?\frac{2\pi }{T}k)$，也就是下面圖中的公式。

$Sa$函數與$sinc$函數的區別

$Sa(x)=\frac{\sin x}{x}$

$sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$

線性卷積與循環卷積

循環卷積序列是線性卷積序列以循環卷積的長度為周期周期延拓后的主值序列。

• 循環卷積序列 是有限的。

時域循環卷積定理

有限長序列$x_1(n)$、$x_2(n)$的長度分別為$N_1$和$N_2$，取$N?\max [N_1,N_2]$，$y(n)$是$x_1(n)$和$x_2(n)$的循環卷積，即$y(n)=x_1(n)?x_2(n)$，則

$$Y(k)=\mathrm{DFT}\left[y(n)\right]=X_1(k)X_2(k),0?k?N?1$$

$X_1(k)$和$X_2(k)$分別是$x_1(n)$和$x_2(n)$的$N$點DFT。

結論：當循環卷積長度$N?\max [N_1,N_2]$時，循環卷積可用DFT來計算。

概率密度函數的特征函數

概率密度函數的傅里葉變換

$a=0$且$\gamma ={\sigma }^2=1$時，成為標準$\alpha$穩定分布
$\beta =0$時稱為對稱分布，簡稱$S\alpha S$分布

功率歸一化

使信號的功率為1，即

$$y^{\prime }=\frac{y}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}{\left|y(n)\right|}^2}}$$

剩余碼間干擾（ISI）定義

$$ISI=\frac{\sum {\left|\theta (n)\right|}^2}{\max {\left|\theta (n)\right|}^2}$$

或
$$ISI=\frac{\sum {\left|\theta (n)\right|}^2?\max {\left|\theta (n)\right|}^2}{\max {\left|\theta (n)\right|}^2}$$

能量信號的能量譜密度

能量信號：能量有限，平均功率為0
若能量信號s(t)的傅里葉變換（頻譜密度）為S(f)，則稱${\left|S(f)\right|}^2$為能量譜密度
物理意義：表示頻率f處寬度為df的頻帶內的信號能量，或者單位頻帶內的信號能量

功率信號的功率譜密度

功率信號：能量無限，功率有限
對功率信號分段，求一段的能量譜密度${\left|S_T(f)\right|}^2$，則定義

$$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\left|S_T(f)\right|}^2$$

為功率信號的功率譜密度

物理意義：能量/時間，單位頻帶內信號的功率

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【2021.02.09更新】数字信号处理公式推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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