4 基本數(shù)值算法

4.2 線性方程組

4.2.1 線性方程組的特性

解的存在性和唯一性

滿足下面條件之一，A非奇異，可逆：

如果b屬于A的列向量張成的空間，則稱方程組是相容的。

范數(shù)需要滿足次可加性（三角不等式）。

對(duì)于n維矢量x，可以定義p范數(shù)，p為大于0的整數(shù)：

。所以1范數(shù)為相加，2范數(shù)為平方和開根， 范數(shù)為最大的x。

定義矩陣范數(shù)：

。

根據(jù)相應(yīng)的向量范數(shù)，我們可以得到：1范數(shù)為列向量求和最大，2范數(shù)為行向量求和最大。

矩陣范數(shù)：滿足這些性質(zhì)：

，如果

對(duì)于任一標(biāo)量

，有

對(duì)任意矢量x，有

問題的敏感性和病態(tài)性

：A的條件數(shù)

如果A奇異，則

矩陣的條件數(shù)刻畫了矩陣對(duì)于非零矢量最大的延伸和壓縮能力，矩陣的條件數(shù)越大，說(shuō)明矩陣越接近奇異。

矩陣條件數(shù)的性質(zhì)：

對(duì)于任意矩陣A，

；對(duì)于單位陣I， ；對(duì)于任意矩陣A和標(biāo)量 ，有 ；對(duì)于任意對(duì)角陣 ， 。

4.2.2 線性方程組的直接解法

主要是兩種：高斯消去法和LU分解

高斯消去法主要的計(jì)算量消耗在消元過程，時(shí)間復(fù)雜度為

。

在消去過程中，對(duì)角線上的元素會(huì)作為除數(shù)，如果它很小，就會(huì)發(fā)生上溢從而嚴(yán)重影響求解精度。于是就有了一個(gè)操作叫做：列選主元。講的是一個(gè)矩陣計(jì)算到

的時(shí)候，從 向下看，找到一個(gè)最大的家伙，然后把那一行整個(gè)搬過來(lái)，把這一行搬過去，于是就很好的控制了上溢的問題。用時(shí)間換精度。

然后LU分解在線性代數(shù)里面已經(jīng)學(xué)過了，這里就不再說(shuō)了......

線性方程組解的精度

殘差向量：

解為 ，定義殘差向量： 。有 。

當(dāng)A為良態(tài)時(shí)，小的相對(duì)殘差意味著解的相對(duì)誤差也小。A如果病態(tài)，穩(wěn)定的算法可以得到小的殘差，但解的精度不一定高。

高斯-約當(dāng)法：把A變成一個(gè)對(duì)角陣。

喬列斯基分解：如果A是對(duì)稱正定陣則可以使用。

，L為下三角陣。

4.2.3 線性方程組的迭代解法

迭代求解：直接解法的時(shí)間復(fù)雜度都是

，迭代運(yùn)算復(fù)雜度不超過 ，其中k為迭代步數(shù)。

不動(dòng)點(diǎn)迭代

，定義譜半徑 為矩陣M所有特征值的最大值。

如果

，則不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂。

分裂A是實(shí)現(xiàn)不動(dòng)點(diǎn)迭代的基本方法，令

，得到 ，得到不動(dòng)點(diǎn)迭代的形式：

，當(dāng) 時(shí)，收斂

雅可比方法

，D為對(duì)角陣，L和U為嚴(yán)格的上三角陣和下三角陣。

，帶入迭代式：

。

高斯-賽德方法

，D為對(duì)角陣，L和U為嚴(yán)格的上三角陣和下三角陣。

，帶入迭代式：

。

高斯-賽德方法能夠及時(shí)利用更新過的分量參與下一步計(jì)算，因此收斂速度要比雅可比大約快一倍，但這兩種方法收斂通常很慢。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的方程组的直接解法和迭代法 python_数据与算法总结——基本数值算法2（线性方程组）...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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