1.函數極限的定義：

假設 $f(x)$ 是一個實函數，$c$ 是一個實數，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$$
表示 $f(x)$ 可以任意地靠近 $L$，只要我們讓 $x$ 充分靠近 $c$。此時，我們說當 $x$ 趨向 $c$ 時，函數 $f(x)$ 的極限是 $L$。值得特別指出的是，這個定義在 $f(c)$ 的時候同樣是成立的。事實上，即使 $f(x)$ 在 $c$ 點沒有定義，我們仍然可以定義上述的極限。—《維基百科》

$簡單說就是f(x)在c點的左右極限都存在且相等，如圖$

$注意：函數f(x)在c點有無極限與在c點有無定義無關$

2.函數在某一點連續的定義：

假設 $f(x)$ 是一個實函數，定義域為R，$f(x)$ 在R中的某一點 $c$ 處連續當且僅當以下的兩個條件滿足即可：

$f(x)$ 在 c 點有定義。

$f(x)$ 在c點有極限，且極限等與 $f(x)$ 在該點的函數值，即 $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$$

詳細定義請參考維基百科：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0

3.函數的極限與連續性的關系：

$由定義可得函數在某一點連續必有極限，有極限不一定連續$

$(1)函數在某一點連續一定有極限嗎？$

一定。根據定義函數在某一點連續必有極限

$(2)連續函數一定有極限嗎？$

不一定。例如，函數 $y=x$ 當 $x$ 趨向與正無窮時，$y$ 也趨向與正無窮，不存在極限。連續函數一定存在極限指的是趨向某個確定值的時候才存在極限，比如 $x$ 趨向與3。

$(3)函數在某一點有極限，則在該點一定連續嗎？$

不一定。比如，第一類可去間斷點函數，間斷點的極限存在，但函數在該點無定義,所以不連續。

$(4)函數在某一點有極限，則該點一定有定義嗎？有定義一定有極限嗎？$

不一定。根據函數極限的定義，可得函數在某一點有極限與在該點是否有定義并無關系。
不一定。比如分段函數。

$(5)有界的連續函數一定有極限嗎？$

不一定。比如三角函數 $sin(x)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的函数的极限与连续性的关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。