极限等价无穷小量替换笔记
主要解決為什么等價無窮小量替換一般只用于乘除，而不用于加減？
有些題目在加減時替換能得到正確答案，有些則不能，它什么時候是可以用于加減的？
目錄
一、等價無窮小量的替換的基礎知識
1.定義
2.用等價無窮小量的注意事項
二、深層的去理解等價無窮小量的替換
1.等價無窮小量和泰勒展開式的聯系
2.為什么加減時我們一般不用等價無窮小量的替換？
3.為什么乘除時可以無顧忌的用等價無窮小量的替換？
4.什么時候可以在加減中用等價無窮小量的替換?
目錄
一、等價無窮小量的替換的基礎知識
1.定義
等價無窮小量的替換：已知存在，都是的無窮小量，且?存在（或為∞），則有。
證明：
2.用等價無窮小量的注意事項
但用等價無窮小量的替換需要特別注意兩點（常出錯的兩點）
①被替換的量，必須是無窮小量（在取極限時為0）。
②被替換的量，必須是作為被乘或被除的元素，不能是被加減的元素。
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③替換時必須整體替換，而不能替換局部
整體替換是什么意思呢？
其實等價無窮小量的替換，我們可以看做是原極限乘以一個極限為1的分式。
二、深層的去理解等價無窮小量的替換
1.等價無窮小量和泰勒展開式的聯系
泰勒展開式：
我們用泰勒展開式，來對函數在一點附近的函數進行近似，近似式的階數越高，近似程度越好。
都是近似，等價無窮小量和泰勒展開的關系是什么呢？
無窮小量的等價，不過取了泰勒展開式的第一項去等價罷了。
等價無窮小量就是精度較低的泰勒展開。
僅僅從做題的角度來說，就是你能用等價無窮小量去做的題，用泰勒展開一定可以，但反過來未必。
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2.為什么加減時我們一般不用等價無窮小量的替換？
我們清楚了等價無窮小量和泰勒展開之間的關系之后，這個問題的答案我們很容易得到。
為什么加減不行？
本質是因為加減可能會導致項的抵消，抵消后，根據分母的階數可能會需要泰勒展開第一項后的高階近似，但因為等價無窮小量只取了泰勒展開的第一項，對后續的近似無能為力。
例如上文例3:
?
就是當的一階代表元（也就是它的等價無窮小量）與的一階代表元（也是它的等價無窮小量）消掉之后，按理說該二階代表元站出來了（因為分母是三階的），對于這個例子而言，兩者都沒有二階代表元，所以要各自三階代表元（的，的）站出來了，但因為等價無窮小量只取了泰勒展開的第一項，它才不管你的分母是x的幾階無窮小量，消完就沒，所以就是0。但我們知道在取完第一項之后后面的項也還是有用（根據分母是x的幾階無窮小量）。
3.為什么乘除時可以無顧忌的用等價無窮小量的替換？
那為什么乘除可以呢？
因為乘除不會消去第一項近似，你等價的那個無窮小量（即泰勒展開的第一項）總會在，在就意味著輪不到你后面的高階近似上場。
這個時候，我不需要你分子的等價無窮小量一直等價到和分母相同。
舉個例子：我把例3的分子化為乘，分母化為??。
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4.什么時候可以在加減中用等價無窮小量的替換?
知道為什么不能用，那什么時候能用就很簡單了——我們不讓相加減的兩個函數的泰勒展開式的第一項（等價的無窮小量）消去就可以了唄。
?記錄轉自知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/99373470
總結
以上是生活随笔為你收集整理的极限等价无穷小量替换笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
