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• 題意：
• 思路：

題意：

給你兩個長度為$m,n$的串$a,b$，問你$b$串中每個長度為$m$的連續字串能否與$a$完全匹配，其中含有通配符$?$，輸出每個位置的開頭。
$n,m\le 3e5$

思路：

比較容易想到魔改$kmp$，但是你會發現怎么改都$a$不掉這個題。
先不考慮通配符，定義$c(x,y)$表示$a_x?b_y$，顯然$c(x,y)=0$時代表$a_x$與$b_y$這個位置匹配。
定義函數$f(x)={\sum }_{i=0}^{m?1}C(i,x?m+i+1)$，我們發現不能根據$f(x)$是否為$0$來判斷是否匹配，因為有$ab,ba$這種串。不難發現問題就是出現了負數，我們考慮將其加個絕對值？絕對值不是很好處理，所以考慮給他加一個平方，即$f(x)={\sum }_{i=0}^{m?1}(A(i)?B(x?m+i+1){)}^2$，這個獅子已經很像$FFT$了，考慮將其展開，$f(x)={\sum }_{i=0}^{m?1}A(i{)}^2+{\sum }_{i=0}^{m?1}B(x?m+i+1{)}^2?2?{\sum }_{i=0}^{m?1}A(i)?B(x?m+i+1)$，前面兩項很好處理，只有最后這一項不是很好看，考慮將$A$串翻轉一下，即${\sum }_{i=0}^{m?1}A(m?i?1)?B(x?m+i+1)$，觀察一下，這不就是個卷積！即$g(x)={\sum }_{i+j=x}A(i)?B(j)$，所以卷一下就好啦。
有通配符怎么辦呢？
按照上面的思路，我們是將相等的數變成了$0$，所以我們只需要改一下$C(x,y)$的定義，改為$C(x,y)=(A_x?B_y{)}^2{A}_x{B}_y$，即當某個位置是通配符的時候，將這個位置的$A,B$都賦值為$0$即可。
推導方法與上面相同，這里直接給出答案：$$f(x)=\sum _{i+j=x}A(x{)}^{3}B(x)+\sum _{i+j=x}A(x)B(x{)}^3?2?\sum _{i+j=x}A(x{)}^{2}B(x{)}^2$$
做$6$次即可。
小優化：由于最終只用到了前$n$項，所以卷的長度定義為$>=n$的最小$2$的冪次即可。
不加這個優化很可能過不了，需要換$NTT$。

// Problem: P4173 殘缺的字符串 // Contest: Luogu // URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4173 // Memory Limit: 128 MB // Time Limit: 1000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math") //#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native") //#pragma GCC optimize(2) #include<cstdio> #include<iostream> #include<string> #include<cstring> #include<map> #include<cmath> #include<cctype> #include<vector> #include<set> #include<queue> #include<algorithm> #include<sstream> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<random> #include<cassert> #define X first #define Y second #define L (u<<1) #define R (u<<1|1) #define pb push_back #define mk make_pair #define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1) #define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1) #define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1)) #define db puts("---") using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); } //void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); } //void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; typedef pair<int,int> PII;const int N=6000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f; const double eps=1e-6,PI=acos(-1);int n,m; int rev[N]; int bit,limit; int A[N],B[N]; char s1[N],s2[N]; double p1[N],p2[N];struct Complex {double x,y;Complex operator + (const Complex& t) const { return {x+t.x,y+t.y}; }Complex operator - (const Complex& t) const { return {x-t.x,y-t.y}; }Complex operator * (const Complex& t) const { return {x*t.x-y*t.y,x*t.y+y*t.x}; } }a[N],b[N],c[N],d[N],ans[N];void fft(Complex a[],int inv) {for(int i=0;i<limit;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1) {Complex w1=Complex({p1[mid],inv*p2[mid]});for(int i=0;i<limit;i+=mid*2) {Complex wk=Complex({1,0});for(int j=0;j<mid;j++,wk=wk*w1) {Complex x=a[i+j],y=wk*a[i+j+mid];a[i+j]=x+y; a[i+j+mid]=x-y;}}} }int main() { // ios::sync_with_stdio(false); // cin.tie(0);cin>>m>>n>>s1>>s2;for(int i=0;i<m;i++) A[i]=s1[i]=='*'? 0:s1[i]-'a'+1;for(int i=0;i<n;i++) B[i]=s2[i]=='*'? 0:s2[i]-'a'+1;reverse(A,A+m);while((1<<bit)<=n) bit++;limit=1<<bit;for(int i=0;i<limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1) p1[mid]=cos(PI/mid),p2[mid]=sin(PI/mid);for(int i=0;i<m;i++) a[i]={1.0*A[i]*A[i]*A[i],0},c[i]={1.0*A[i]*A[i],0};for(int i=0;i<n;i++) b[i]={1.0*B[i],0},d[i]={1.0*B[i]*B[i],0};fft(a,1); fft(b,1); fft(c,1); fft(d,1);Complex now={2,0};for(int i=0;i<limit;i++) ans[i]=ans[i]+a[i]*b[i]-c[i]*d[i]*now;for(int i=0;i<limit;i++) a[i]=b[i]={0,0};for(int i=0;i<m;i++) a[i]={1.0*A[i],0};for(int i=0;i<n;i++) b[i]={1.0*B[i]*B[i]*B[i],0};fft(a,1); fft(b,1); for(int i=0;i<limit;i++) ans[i]=ans[i]+a[i]*b[i];fft(ans,-1);vector<int>v;for(int i=m-1;i<n;i++) if((fabs(ans[i].x/limit))<0.5) v.pb(i-m+2);printf("%d\n",v.size());for(auto x:v) printf("%d ",x);return 0; } /**/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4173 残缺的字符串 FFT匹配含有通配符的字符串的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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