最優(yōu)降線問題

最速降線問題（又稱為捷線問題）是經(jīng)典變分問題之一，其解是一條旋輪線，其解析解是用微分方程模型得到的，因此，研究該問題的新解法可以為微分方程的求解尋找到新的方法。 意大利科學(xué)家伽利略在1630年提出一個(gè)分析學(xué)的基本問題──“一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一個(gè)給定點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn)，如果不計(jì)摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短”。
參考：最優(yōu)降線的動(dòng)圖

參考：最速降線問題
伽利略在提出這個(gè)問題同時(shí)也給出了他自己的答案。然而，他做錯(cuò)了，他認(rèn)為是圓。
1696年，約翰﹒伯努利向再次向整個(gè)數(shù)學(xué)界發(fā)起了整個(gè)問題的挑戰(zhàn)，并且聲稱自己已經(jīng)解出答案，如果年底沒有人解出來，他就會公布答案。（嗯，其實(shí)他就是想證明他是最聰明的。）
1697年1月1日，約翰·伯努利正要公布答案時(shí)收到了來自老師萊布尼茲的答案，并在萊布尼茲的要求下延長時(shí)間。
當(dāng)時(shí)整個(gè)歐洲數(shù)學(xué)界都被此問題吸引，紛紛投入研究。
不知道是不是因?yàn)槿R布尼茲和牛頓的不融洽關(guān)系，約翰·伯努利還暗戳戳的嘲諷牛頓，并打算向他挑戰(zhàn)這一問題。
后來，54歲的牛頓收到了來自約翰·伯努利的信，這時(shí)候牛頓已經(jīng)在研究神學(xué)領(lǐng)域了，而且每天忙英國造幣局的事務(wù)到很晚。
疲憊不堪的牛頓看到這封信時(shí)很憤怒，很不爽，然后熬夜到凌晨四點(diǎn)，將這個(gè)問題給解決了，次日便將答案寄給了當(dāng)時(shí)的科學(xué)期刊?Philosophical Transactions》。
牛頓后來跟他朋友說，“在數(shù)學(xué)問題上，我不喜歡被外國人戲弄。”
最后，約翰·伯努利收到了四份答案，分別來自萊布尼茨（約翰·伯努利的老師）、洛必達(dá)（約翰·伯努利的學(xué)生）、雅各布·伯努利（約翰·伯努利的兄弟）及匿名的答案。
沒錯(cuò)，匿名的正是牛頓，不過約翰·伯努利看到這封信時(shí)就說：“我看到這利爪就認(rèn)出來了是頭獅子。”
在這些答案中，牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)都是憑借深厚的微積分功底解決這個(gè)問題。
約翰·伯努利的解法比較巧妙，他將 A到B的空間劃分出無數(shù)層狀介質(zhì)，并將小球的運(yùn)動(dòng)和光所遵循的斯涅爾定律（折射定律）聯(lián)系在一起，并得到最速降線是擺線這一答案。
但是，這個(gè)問題并沒有到此結(jié)束。
1734年，約翰·伯努利的學(xué)生歐拉用全新的解法解決了這個(gè)問題，并推廣出了一門學(xué)科，名變分法。
接下來，我們就看一下歐拉做了什么事情。

泛函極值問題

函數(shù)y(x)稱為泛函J的宗量


歐拉方程推導(dǎo)出泛函的最優(yōu)解就是擺線，而剛好與保守體系的拉格朗日方程一致。

擺線，又稱 旋輪線 、 圓滾線 ，在 數(shù)學(xué) 中， 擺線 （Cycloid）被定義為，一個(gè)圓沿一條直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓邊界上一定點(diǎn)所形成的軌跡。
所以，我們知道的拉格朗日函數(shù)L=U-T只是在保守系成立。而對于非保守體系，事實(shí)上也能寫出拉格朗日函數(shù)。

保守體系&非保守體系（有勢力/非有勢力）

將有勢力記入拉格朗日函數(shù)，其他的非有勢力單獨(dú)計(jì)算其廣義力

以最小作用量原理為基礎(chǔ)的拉格朗日力學(xué)，L=k-u，那么如何處理非保守力（如摩擦力）呢？
非保守力：凡作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力。
常見的摩擦力,物體間相互作非彈性碰撞時(shí)的沖擊力都屬于非保守力。 非保守力具有沿任意閉合路徑作功不等于零的特點(diǎn)。 非保守力包括耗散力和非耗散力兩類。
保守力
定義：力所作的功與路徑無關(guān)，僅由質(zhì)點(diǎn)的始末位置決定。
即：保守力沿閉和路徑所做的功為零。
由于保守力所做的功與運(yùn)動(dòng)物體所經(jīng)過的路徑無關(guān)，因此，如果物體沿閉合路徑繞行一周，則保守力對物體所做的功恒為0 .因?yàn)楸Ｊ亓Φ墓哂羞@樣的特點(diǎn)，所以在只有保守力作用在物體上的情況下可以定義勢能（位能）.勢能大小僅由保守力的大小和具有保守力作用的二物體問的相互位置決定。換句話說，勢能僅與保守力場的位置有關(guān)。
非保守力
定義：力所做的功不僅決定于受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置，而且和質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路徑有關(guān)；或：力沿閉和路徑所做的功不等于零。
保守力做功，與路徑無關(guān)，非保守力與路徑有關(guān)。
常見的摩擦力，物體間相互作非彈性碰撞時(shí)的沖擊力都屬于非保守力。非保守力具有沿任意閉合路徑作功不等于零的特點(diǎn)。非保守力包括耗散力和非耗散力兩類。
在力學(xué)范圍內(nèi)接觸的非保守力大多數(shù)是耗散力，所以長期以來耗散力就成了非保守力的同義詞。嚴(yán)格說來兩者是有區(qū)別的，一個(gè)系統(tǒng)的總機(jī)械能減少，并轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)的熱能或內(nèi)能。通常人們把這個(gè)過程叫耗散過程，而把導(dǎo)致耗散的力成為耗散力。
非耗散力指能對系統(tǒng)或物體做正功，而且做功與路徑有關(guān)的力。如磁力。

哈密頓原理

參考：哈密頓原理


如同一般變分原理一樣,從哈密頓原理可以等價(jià)地推出相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)方程,通常是微分方程.如果力學(xué)系統(tǒng)處于靜力平衡穩(wěn)定狀態(tài),則因動(dòng)能為零,位能與時(shí)間無關(guān),哈密頓原理轉(zhuǎn)化為最小位能原理(勢能一定在最低的地方):

在力是保守力的情況下,對任何有限粒子組,對于更一般的動(dòng)力系統(tǒng)以及連續(xù)介質(zhì),這一原理的推廣同樣適用.哈密頓原理還可推廣到電磁學(xué)、量子學(xué)說以及相對論中的基本定律.量子學(xué)說的創(chuàng)立者普朗克(Planck,M.)這樣評價(jià)哈密頓原理,“物理學(xué)中最崇高且最為人們殷切追求的目標(biāo),是把業(yè)已觀察到并行將觀察到的一切自然現(xiàn)象縮并成單獨(dú)一個(gè)原理……在那些標(biāo)志著過去幾百年物理科學(xué)成就的,多少帶有一般性的定律中,最小作用原理,就其內(nèi)容和形式而論,可能最接近于理論研究上這一理想的最終目標(biāo).

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最速降线问题-泛函极值的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。