最近重溫了一下大一沒學好的微積分，于是挑了一本豆瓣評價較高的《普林斯頓微積分讀本》，這本書講的確實通俗易懂，讓讀者加深對微積分的理解的同時也講述了一些解題的方法，所以我在這里記下了我認為重要的一些內容。美中不足的是這本書只講述了單變量微積分有關的部分。

參考資料: 《普林斯頓微積分讀本》人民郵電出版社

這篇博客只記錄我在閱讀過程中感到重要的地方，只是一個讀書筆記而已

解題技巧: 導數偽裝的極限

一個好奇函數: 可導而導數不連續的函數

雙曲函數

原書9.7節

反函數的導數

原書10.1節

反函數導數公式

感覺這個公式挺重要的，同時也不是那么好理解，有點繞

寫成這樣可能要好點

反正弦函數的導數

反余弦函數的導數

函數圖像

反正切函數的導數

反正割函數的導數

反余割與反余切函數及其導數

反雙曲函數及其導數

導數與圖像

羅爾定理

中值定理

函數拐點: 函數凹凸性變化的點

舉例: x=0是$x^3$的拐點, 但不是$x^4$的拐點，即使在x=0處二階導數都是0

解題技巧: 繪制函數圖像的步驟

(1)對稱性
(2)y軸截距
(3)x軸截距
(4)定義域
(5)垂直漸近線
(6)函數的正負
(7)水平漸近線
(8)導數的正負
(9)最大值和最小值
(10)二次導數的正負
(11)拐點

最優化和線性化

牛頓法

牛頓法失靈的四種情況:

第十四章 洛比達法則

洛比達法則大致證明

重要的極限

定積分

函數的平均值

積分中值定理

微積分基本定理

微積分第一定理

微積分第二定理

用微積分第一定理解決問題

上下限都是函數

導數偽裝的極限

求解不定積分

積分的方法

原書第18章

替代法

分部積分法

部分分式法

三角函數積分

技巧綜述

反常積分

原書第20章
用極限的思想去求解

比較判別法

P判別法

絕對收斂判別法

無窮處指數函數的行為

提示: 利用這個函數進行比較判決(借助P判別法)

無窮處對數函數的行為

用法同上，但是有一個特別的例子:

第22/23章 級數的斂散性

幾何級數

當公比的絕對值<1時收斂，否則發散

第n項判別法

若級數通項不趨于0，則級數發散；
級數通項趨于0，需要進一步判斷

比式判別

根式判別

積分判別

其他判別方法

類似于積分的斂散性，有:

• 比較判別法
• 極限比較判別
• p判別

交錯級數判別法

24. 泰勒級數

泰勒近似定理

c 的取值與積分中值定理有關，c 介于a和x之間，用來反映誤差, 且一般是求不出來的

泰勒級數

是一個無窮級數
若想要證明一個函數在某些x處等于它的泰勒級數，應該嘗試證明，當$N$趨于無窮時，余項$R_N$趨于0

麥克勞林級數

麥克勞林級數就是 a=0 的泰勒級數

使用泰勒近似作估算

根據余項$R_N(x)$估算誤差的上限，選擇合適的$N$后代回泰勒展開式

冪級數

冪級數的收斂

• 收斂半徑: 利用比式判別法或根式判別法，由級數收斂的條件即可算得收斂區域、收斂半徑
• 端點通常需要單獨討論

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》个人读书笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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