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第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波2 - 复数、傅里叶级数、连续单变量函数的傅里叶变换、卷积

發(fā)布時(shí)間：2023/12/10 python 28 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波2 - 复数、傅里叶级数、连续单变量函数的傅里叶变换、卷积小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

基本概念

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù) $C$ 的定義為

$\tag{4.3}$

$R, I$ 為實(shí)數(shù)， $R$ 是實(shí)部， $I$ 是虛部， $\sqrt{-1}$ 。復(fù)數(shù)的共軛表示為 $C^*$

$C?=R?jI(4.4)C^* = R - jI \tag{4.4}$

從幾何角度來看，復(fù)數(shù)可視為平面（稱為復(fù)平面）上的一個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是實(shí)軸，縱坐標(biāo)是虛軸，也就是說 $R + j I$ 是得平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn) $(R, I)$

極坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)

$|C|(\text{cos}\theta + \text{jsin}\theta) \tag{4.5}$
$∣C∣=R2+I2|C|=\sqrt{R^2 + I^2}$ 是從復(fù)平面的原點(diǎn)延伸到點(diǎn) $(R, I)$ 的向量長度， $θ\theta$ 是該向量與實(shí)軸的夾角。

使用歐拉公式
$ejθ=cosθ+jsinθ(4.6)e^{j\theta} = \text{cos}\theta + \text{jsin}\theta \tag{4.6}$

可以給坐極坐標(biāo)的復(fù)數(shù)表示為
$|C|e^{j\theta} \tag{4.7}$

復(fù)函數(shù)：
$F (u) = R (u) + j I (u)$
$F^*(u) = R(u) - jI(u)$
幅值是
$\sqrt{R(u)^2 + I(u)^2}$

a = np.complex(1 + 2j) radian = np.arctan2(a.imag, a.real) radian 1.1071487177940904 degree = np.rad2deg(radian) degree 63.43494882292201

傅里葉級(jí)數(shù)

周期為 $T$ 的連續(xù)變量 $t$ 的周期函數(shù) $f (t)$ ，可表示為乘以適當(dāng)系數(shù)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j\frac{2\pi n}{T}t} \tag{4.8}$

$cn=1T∫?T/2T/2f(t)e?j2πnTt(4.9)c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t} \tag{4.9}$

沖激函數(shù)及其取樣（篩選）性質(zhì)

連續(xù)變量 $t$ 在 $t = 0$ 處的單位沖激表示為 $δ(t)\delta(t)$ ，定義是
$δ(t)={∞,t=00,t≠0(4.10)\delta(t) =\begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases} \tag{4.10}$
它被限制為滿足恒等式
$∫?∞∞δ(t)dt=1(4.11)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt= 1 \tag{4.11}$

自然地，將 $t$ 解釋為時(shí)間時(shí)，沖激就可視為幅度無限、持續(xù)時(shí)間為0、具有單位面積的尖峰信息。沖激具有關(guān)于積分的所謂取樣性質(zhì)

$∫?∞∞f(t)δ(t)dt=f(0)(4.12)\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t)dt= f(0) \tag{4.12}$

沖激
沖激并不是通常意義上的函數(shù)，更準(zhǔn)確的名稱是分布或廣義函數(shù)。

任意一點(diǎn) $t_0$ 的取樣性質(zhì)為：
$∫?∞∞f(t)δ(t?t0)dt=f(t0)(4.13)\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0)dt= f(t_0) \tag{4.13}$

例如：若 $\text{cos}(t)$ ，則使用沖激 $δ(t?π)\delta(t-\pi)$ 得到結(jié)果 $f(π)=cos(π)=?1f(\pi) = cos(\pi)=-1$

沖激串 $KaTeX parse error: \tag works only in display equations$

離散沖激定義為
$δ(x)={1,x=00,x≠0(4.15)\delta(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\0, & x \neq 0 \end{cases} \tag{4.15}$
$∑?∞∞δ(x)=1(4.16)\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(x)= 1 \tag{4.16}$
$∑?∞∞f(x)δ(x)=f(0)(4.17)\sum_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)= f(0) \tag{4.17}$
$∑?∞∞f(x)δ(x?x0)dt=f(x0)(4.18)\sum_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - x_0)dt= f(x_0) \tag{4.18}$

def impulse(x, x0):return np.piecewise(x, [x==x0, x!=x0], [1, 0]) # 按定義寫的，不知道是否正確，如不正確，請(qǐng)指出，感謝，只做展示 x = np.arange(10) plt.stem(x, impulse(x, 5), ) plt.show()

def impulse_serial(x):s = np.ones_like(x)return s # 只做展示 x = np.arange(10) plt.stem(impulse_serial(x)) plt.show()

連續(xù)單變量函數(shù)的傅里葉變換

傅里葉變換對(duì)

連續(xù)變量 $t$ 的連續(xù)函數(shù) $f (t)$ 的傅里葉變換由 $J{f(t)}\mathfrak{J}\{f(t)\}$ 表示，定義為
$J{f(t)}=∫?∞∞f(t)e?j2πμtdt(4.19)\mathfrak{J}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \tag{4.19}$
$J{f(t)}=F(μ)\mathfrak{J}\{f(t)\} = F(\mu)$
所以有
$F(μ)=∫?∞∞f(t)e?j2πμtdt(4.20)F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \tag{4.20}$
反變換：
$\int_{-\infty}^{\infty} F(\mu) e^{-j2\pi\mu t}d\mu \tag{4.21}$

通常表示為 $\Leftrightarrow F(\mu)$

使用歐拉公式，可以寫為
$F(μ)=∫?∞∞f(t)[cos(2πμt)?jsin(2πμt)]dt(4.22)F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) [\text{cos}(2\pi \mu t) - \text{jsin}(2\pi \mu t)]dt \tag{4.22}$

傅里葉變換是 $f (t)$ 乘以正弦函數(shù)的展開式，其中正弦函數(shù)的頻率是由 $μ\mu$ 值決定。因此積分后留下的唯一變量是頻率，因此，我們說傅里葉變換域是頻率域。

盒式函數(shù)的傅里葉變換

$F(μ)=∫?∞∞f(t)e?j2πμtdt=∫?W/2W/2f(t)Ae?j2πμtdt=?Aj2πμ[e?j2πμt]?W/2W/2=?Aj2πμ[e?jπμW?ejπμW]=Aj2πμ[ejπμW?e?jπμW]=AWsin(πμW)(πμW)\begin{aligned} F(\mu) & = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi\mu t}dt = \int_{-W/2}^{W/2} f(t) A e^{-j2\pi\mu t}dt\\ & = \frac{-A}{j2\pi\mu}[e^{-j2\pi\mu t}]_{-W/2}^{W/2} = \frac{-A}{j2\pi\mu}[e^{-j\pi\mu W} - e^{j\pi\mu W}]\\ & = \frac{A}{j2\pi\mu}[e^{j\pi\mu W} - e^{-j\pi\mu W}] \\ & = AW \frac{sin(\pi \mu W)}{(\pi \mu W)} \\ \end{aligned}$

最后的結(jié)果是 $sinc\text{sinc}$ 函數(shù)
$sinc(m)=sin(πm)(πm)(4.23)\text{sinc}(m) = \frac{\text{sin}(\pi m)}{(\pi m)} \tag{4.23}$

通常傅里葉變換中包含復(fù)數(shù)項(xiàng)，這是為了顯示變換的幅值（一個(gè)實(shí)量）的約定。這個(gè)幅值稱為傅里葉頻譜或頻譜：
$∣F(μ)∣=AW∣sin(πμW)(πμW)∣|F(\mu)| = AW \bigg|\frac{sin(\pi \mu W)}{(\pi \mu W)}\bigg|$

def box_function(x, w):w_2 = w / 2y = np.where(x, x > -w_2, 0)y = np.where(x < w_2, y, 0)return y import mpl_toolkits.axisartist as axisartist def setup_axes(fig, rect):ax = axisartist.SubplotZero(fig, rect)fig.add_axes(ax)for direction in ["xzero", "yzero"]:# adds arrows at the ends of each axisax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")# adds X and Y-axis from the originax.axis[direction].set_visible(True)for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:# hides bordersax.axis[direction].set_visible(False)return ax # 盒式函數(shù)的傅里葉變換 x = np.arange(-5, 5, 0.1) y = box_function(x, 6)fig = plt.figure(figsize=(15, 5)) ax_1 = setup_axes(fig, 131) ax_1.plot(x, y), ax_1.set_title('f(t)', loc='center', y=1.05), ax_1.set_ylim([0, 2]), ax_1.set_yticks([])f_u = np.sinc(x) ax_2 = setup_axes(fig, 132) ax_2.plot(x, f_u), ax_2.set_title('F(u)', loc='center', y=1.05), ax_2.set_yticks([]), #ax_2.set_ylim([-1, 2]),f_u_absolute = abs(f_u) ax_3 = setup_axes(fig, 133) ax_3.plot(x, f_u_absolute), ax_3.set_title('|F(u)|', loc='center', y=1.05), ax_3.set_yticks([]), #ax_3.set_ylim([-1, 2]),plt.tight_layout() plt.show()

沖激和沖激串的傅里葉變換

$J{δ(t)}=F(μ)=∫?∞∞δ(t)e?j2πμtdt=∫?∞∞e?j2πμtδ(t)dt=e?j2πμ0=e0=1\begin{aligned} \mathfrak{J}\{\delta(t)\} & = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi\mu t} \delta(t)dt \\ & = e^{-j2\pi\mu_0} \\ & = e^0 = 1 \end{aligned}$

$J{δ(t?t0)}=F(μ)=∫?∞∞δ(t?t0)e?j2πμtdt=∫?∞∞e?j2πμtδ(t?t0)dt=e?j2πμt0\begin{aligned} \mathfrak{J}\{\delta(t - t_0)\} & = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) e^{-j2\pi\mu t}dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi\mu t} \delta(t - t_0)dt \\ & = e^{-j2\pi\mu t_0} \\ \end{aligned}$

沖激串的傅里葉變換

$S(μ)=J{SΔT(t)}=J{1Δ∑n=?∞∞ej2πnΔTt}=1ΔTJ{∑n=?∞∞ej2πnΔTt}=1ΔT∑n=?∞∞δ(μ?nΔT)\begin{aligned} S(\mu) & = \mathfrak{J}\{S_{\Delta T}(t)\} = \mathfrak{J}\{\frac{1}{\Delta } \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\} \\ & = \frac{1}{\Delta T} \mathfrak{J}\{\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\} \\ & = \frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\mu - \frac{n}{\Delta T}) \\ \end{aligned}$

卷積

$(f?h)(t)=∫?∞∞f(τ)h(t?τ)dτ(4.24)(f\star h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau \tag{4.24}$

$J{(f?h)(t)}=∫?∞∞[∫?∞∞f(τ)h(t?τ)dτ]e?j2πμtdt=∫?∞∞f(τ)[∫?∞∞h(t?τ)e?j2πμtdt]dτ=H(μ)∫?∞∞f(τ)e?j2πμτdτ=H(μ)F(μ)=(H?F)(μ)\begin{aligned} \mathfrak{J}\{(f \star h)(t) \} & = \int_{-\infty}^{\infty} \bigg[\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau \bigg] e^{-j2\pi \mu t} dt\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \bigg[\int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{-j2\pi \mu t} dt\bigg] d\tau \\ & = H(\mu) \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-j2\pi \mu \tau} d\tau \\ & = H(\mu)F(\mu) = (H \bullet F)(\mu) \end{aligned}$

傅里葉正變換
$(f?h)(t)?(H?F)(μ)(4.25)(f\star h)(t) \Leftrightarrow (H \bullet F)(\mu) \tag{4.25}$
傅里葉反變換
$(f?h)(t)?(H?F)(μ)(4.26)(f\bullet h)(t) \Leftrightarrow (H \star F)(\mu) \tag{4.26}$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波2 - 复数、傅里叶级数、连续单变量函数的傅里叶变换、卷积的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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