近世代數--群同構--第三同構定理

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

先驗知識在第一同構定理。

第三同構定理：$H?G,N?G,N?H$，有$G/H?(G/N)/(H/N)$

證明：根據第一同構定理，我們把$G/N$看作$G$，$G/H$看作$G^{\prime }$，$H/N$看作$Ker(f),f:G\to G^{\prime }$，就自然有第三同構定理成立。

滿足第一同構定理有兩個條件：

• 條件1：$f:G/N\to G/H$是滿同態；
• 條件2： $H/N$是$Ker(f)$；

定義：$f(aN)=aH,?a\in G$

證明條件1：

• 同態：
  • 是一個映射：要證$aN=bN\to f(aN)=f(bN),?a,b\in G$
    $$\begin{gathered} aN=bN \\ \to a^{?1}bN=N \\ \to a^{?1}b\in N?H \\ \to a^{?1}bH=H \\ \to aH=bH \\ \to f(aN)=f(bN) \end{gathered}$$
  • 保持運算：要證$f(aNbN)=f(aN)f(bN),?a,b\in G$
    $$\begin{gathered} N?G,H?G \\ \to bN=Nb,bH=Hb?b\in G \\ \to f(aNbN) \\ =f(a(Nb)N) \\ =f(a(bN)N) \\ =f(abN) \\ =abH \\ =abHH \\ =a(bH)H \\ =a(Hb)H \\ =(aH)(bH) \\ =f(aN)f(bN) \end{gathered}$$
• 滿射：要證$?aH\in G/H,?aN$使得$f(aN)=aH$，易得。

證明條件2：

• 證明$H/N$是內核，從內核定義出發，要證$H/N=Ker(f)$
  $f:G/N\to G/H,f(aN)=aH，Ker(f)=\{aN:aN\in G/N,f(aN)=1_{G/H}\}$
  我們知道$1_{G/H}=H$，那么$$\begin{gathered} Ker(f) \\ =\{aN:aN\in G/N,f(aN)=H\} \\ =\{aN:aN\in G/N,aH=H\} \\ =\{aN:aN\in G/N,a\in H\} \\ =H/N \end{gathered}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--群同构--第三同构定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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