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【控制】《多智能体系统一致性协同演化控制理论与技术》纪良浩老师-第6章-一阶时滞多智能体系统分组一致性

發布時間：2025/4/5 windows 18 豆豆

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第6章-一階時滯多智能體系統分組一致性

- 6.1 引言
- 6.2 預備知識
- - - 定義6.1 二分圖
    - 定義6.2 可達，不可達，全局可達
    - 定義6.3 一致
    - 引理6.1 秩為 $n ? 1$
    - 引理6.2 存在 $λ1=0\lambda_1=0$
    - 引理6.3 凸包
    - 引理6.4 凸包圓盤
- 6.3 問題描述與分析
- - 6.3.1 拓撲結構為連通二分圖的時滯網絡的分組一致性
  - - - 定理6.1 時滯邊界
      - 證明
  - 6.3.2 拓撲結構為存在全局可達節點的時滯網絡的分組一致性
  - - - 入度平衡
- 6.4 例子與數值仿真
- - 6.4.1 實驗1
  - 6.4.2 實驗2
- 6.5 本章小結
- Ref

6.1 引言

矩陣半張量積理論

最大穩定集合

圖著色理論

系統拉普拉斯矩陣特征值為零的個數等于多智能體系統分組數的代數關系。

6.2 預備知識

定義6.1 二分圖

定義6.2 可達，不可達，全局可達

定義6.3 一致

引理6.1 秩為 $n ? 1$

引理6.2 存在 $λ1=0\lambda_1=0$

引理6.3 凸包

$?γ∈[0,1)\forall \gamma \in [0,1)$ ，當 $ω∈R\omega\in \mathbb{R}$ 時，凸包 $γCo(0∪{Ei(jω),i=1,2,?,N})\gamma Co(0 \cup \{ E_i(j\omega), i=1,2,\cdots,N \})$ 不包含 $(? 1, j 0)$ 點，其中 $Ei(jω)=π2T×e?jωTjωE_i(j\omega) = \frac{\pi}{2T}\times \frac{e^{-j\omega T}}{j\omega}$ ， $T$ 為系統時滯， $R\mathbb{R}$ 為實數集。

凸包

引理6.4 凸包圓盤

6.3 問題描述與分析

6.3.1 拓撲結構為連通二分圖的時滯網絡的分組一致性

考慮如下一階連續多智能體系統：
$x˙i(t)=ui(t),i=1,2,?,N(6.1)\dot{x}_i(t) = u_i(t), \quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.1}$

控制算法（基于競爭機制）：
$ui(t)=?∑vj∈Niaij(xj(t)+xi(t)),i=1,2,?,N(6.2)u_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (\red{x_j}(t) + \red{x_i}(t)),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.2}$

$ui(t)=?∑vj∈Niaij(xj(t?τ)+xi(t?τ)),i=1,2,?,N(6.3)u_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (x_j(t-\red{\tau}) + x_i(t-\red{\tau})),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.3}$

$ui(t)=?∑vj∈Niaij(xj(t?Tij)+xi(t?Ti)),i=1,2,?,N(6.4)u_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (x_j(t-\red{T_{ij}}) + x_i(t-\red{T_i})),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.4}$

多智能體系統（6.1）在控制輸入（6.4）的作用下，動力學方程為：
$x˙i(t)=?∑vj∈Niaij(xj(t?Tij)+xi(t?Ti)),i=1,2,?,N(6.5)\dot{x}_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (x_j(t-T_{ij}) + x_i(t-T_i)),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.5}$

定理6.1 時滯邊界

對于包含 $n$ 個智能體的一階多智能體系統（6.5），假設其拓撲結構為連二分圖， $?i=1,2,?,n\forall i=1,2,\cdots,n$ ，如果滿足 $max?{diTi}<π4\max\{d_iT_i\}<\frac{\pi}{4}$ ，則系統（6.5）能漸進實現分組一致。其中 $di=∑vj∈Niaijd_i = \sum_{v_j\in N_i}a_{ij}$ ， $N_i$ 為第 $i$ 個智能體的鄰居集合。

證明

對系統（6.5）作拉普拉斯變換，可以得出
$sXi(s)?Xi(s)=?∑vj∈Niaij(Xj(s)e?sTi+Xi(s)e?sTij)(6.6)sX_i(s) - X_i(s) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (X_j(s) e^{-sT_i} + X_i(s) e^{-sT_{ij}}) \tag{6.6}$

其中， $X_i(s)$ 為 $x_i(t)$ 的拉普拉斯變換形式，經整理可知該系統的特征方程為
$det(sI+De?sTi+Ae?sTij)=0(6.7)\text{det}(sI + D e^{-sT_i} + A e^{-sT_{ij}}) = 0 \tag{6.7}$

參考文獻[35]

6.3.2 拓撲結構為存在全局可達節點的時滯網絡的分組一致性

$u˙i(t)={∑Vj∈N1iaij(xj(t)?xi(t))+∑Vj∈N2iaijxj(t),?i∈L1∑Vj∈N2iaij(xj(t)?xi(t))+∑Vj∈N1iaijxj(t),?i∈L2(6.11)\dot{u}_i(t) = \left\{\begin{aligned} \sum_{V_j\in N_{1i}} a_{ij}(x_j(t) - x_i(t)) + \sum_{V_j\in N_{2i}} a_{ij} x_j(t), \forall i\in L_1 \\ \sum_{V_j\in N_{2i}} a_{ij}(x_j(t) - x_i(t)) + \sum_{V_j\in N_{1i}} a_{ij} x_j(t), \forall i\in L_2 \end{aligned}\right. \tag{6.11}$

其中， $∑Vj∈N1iaij(xj(t)?xi(t))\sum_{V_j\in N_{1i}} a_{ij}(x_j(t) - x_i(t))$ 表示從與節點 $v_i$ 同組且與其相連的其他節點中所獲的的相關信息，而 $∑Vj∈N2iaijxj(t)\sum_{V_j\in N_{2i}} a_{ij} x_j(t)$ 表示從與節點 $v_i$ 不同組且與其相連的其他節點中獲得的相關信息。

入度平衡

入度平衡的假設條件（A1）與（A2）如下：
$（A1）∑j=n+1n+maij=0,?i∈L1（A1）\sum_{j=n+1}^{n+m} a_{ij} = 0, \forall i \in L_1$

$（A2）∑j=1naij=0,?i∈L2（A2）\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 0, \forall i \in L_2$

系統（6.1）在控制輸入（6.13）的作用下可以轉換為：
$u˙i(t)={∑Vj∈N1iaij(xj(t?Tij)?xi(t?Ti))+∑Vj∈N2iaijxj(t?Tij),?i∈L1∑Vj∈N2iaij(xj(t?Tij)?xi(t?Ti))+∑Vj∈N1iaijxj(t?Tij),?i∈L2(6.14)\dot{u}_i(t) = \left\{\begin{aligned} \sum_{V_j\in N_{1i}} a_{ij}(x_j(t-T_{ij}) - x_i(t-T_{i})) + \sum_{V_j\in N_{2i}} a_{ij} x_j(t-T_{ij}), \forall i\in L_1 \\ \sum_{V_j\in N_{2i}} a_{ij}(x_j(t-T_{ij}) - x_i(t-T_{i})) + \sum_{V_j\in N_{1i}} a_{ij} x_j(t-T_{ij}), \forall i\in L_2 \end{aligned}\right. \tag{6.14}$

6.4 例子與數值仿真

6.4.1 實驗1

調整輸入時滯的位置后的結果：

6.4.2 實驗2

6.5 本章小結

一階多智能體系統分組一致的實現與智能體自身的輸入時滯以及網絡中智能體間的連接權重相關，而與智能體之間的傳輸數據時所產生的通信時滯無關。

多智能體系統中節點間的通信時滯雖然不會影響整個系統的收斂性能，但可以影響網絡的收斂速度。

Ref

[15. Wang Q, ]

總結

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