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第7章-二階時滯多智能體系統分組一致性

• • 7.1 引言
  • 7.2 預備知識
  • 7.3 問題描述與分析
  • • • • 定理7.1
  • 7.4 例子與數值仿真
  • 7.5 本章小結

7.1 引言

分組一致性主要考慮兩個關鍵因素：

• 分組一致性的具體收斂狀態
• 分組收斂的速度

一般采用牛頓第二定律進行描述

牛頓第二定律又稱為“加速度定律”。
牛頓第二定律被譽為經典力學的靈魂。在經典力學里，它能夠主導千變萬化的物體運動與精彩有序的物理現象。牛頓第二定律的用途極為廣泛，它可以用來設計平穩地聳立于云端的臺北101摩天大廈，也可以用來計算從地球發射火箭登陸月球的運動軌道。
牛頓第二定律是一個涉及到物體運動的理論，根據這定律，任意物體的運動所出現的改變，都是源自于外力的施加于這物體。這理論導致了經典力學的誕生，是科學史的一個里程碑，先前只是描述自然現象的理論不再被采納，取而代之的是這個創立了一種理性的因果關系架構的新理論。
牛頓第二定律

相比于一階時滯網絡，二階系統一致性需要考慮兩個物理量，即速度和位置。

牽制算法

LaSalle 不變集原理

Lyapunov 穩定性理論

牽制控制方法

牽制控制的基本思想是: 通過有選擇地對網絡中的少部分節點施加控制而使得整個網絡具有期望的行為。比起對所有節點進行控制的方式，由于較小的資源花費，對網絡的小部分節點應用局部反饋控制的牽制控制是更有吸引力和令人期待的。

Lyapunov 第一定理

Hopf 分叉理論

當考慮系統動態環節后, 系統將可能遇到 Hopf 分岔 (Hopf bifurcation, HB) 現象, 相應的失穩為振蕩型失穩。
微分方程理論在自動控制、航天技術、生態生物等方面一直有著廣泛的應用，在這些實際應用中，系統通常都是一些含有參數的微分方程組。考慮如下形式的系統：
$$dX/dt=f(X,\lambda ,\mu )\text{\hspace{1em}(1)}$$
系統（1）的解顯然隨參數μ的變化而變化。如果 $\lambda$ 在 $\lambda$ 等于一個確定值的一個小鄰域內變化時，系統（1）在相空間的相圖拓撲結構發生了變化，那么就稱系統發生了分岔，稱 $\lambda$ 為分岔參數，$\lambda$ 的確定值為分岔值。
而今在應用數學中，Hopf 分岔理論已經成為研究微分方程小振幅周期解產生和消亡的經典工具。因此，對 Hopf 分岔的研究是十分有意義的。

7.2 預備知識

包含 $n+m$ 個智能體的二階連續系統如下：
$$\begin{gathered} {\dot{x}}_i(t)=v_i(t) \\ \dot{v}(t)=u_i(t),i=1,2,?,m+n\text{\hspace{1em}(7.1)} \end{gathered}$$

7.3 問題描述與分析

不同時滯影響下二階系統的一致性協議：
$$\begin{array}{rl}{u}_i(t)=& \alpha \sum _{v_j\in N_i}{a}_{ij}(x_j(t?T_{ij})?x_i(t?T))+\\ & \beta \sum _{v_j\in N_i}{a}_{ij}(v_j(t?T_{ij})?v_i(t?T)),i=1,2,?,N\end{array}\text{\hspace{1em}(7.2)}$$

$\alpha ,\beta$ 分別為該系統的耦合強度。

耦合強度

定理7.1

考慮包含 $n+m(n,m>1)$ 個智能體的多智能體系統（7.4），基于入度平衡的假設條件（A1）和（A2），當網絡拓撲結構中包含全局可達節點時，若滿足 ${\tilde{d}}_i(\alpha \cos ({\omega }_{i0}{T}_i)+\beta {\omega }_{i0}\sin ({\omega }_{i0}{T}_i))<\frac{1}{2}{\omega }_{i0}^2$ 成立，則稱系統能漸進實現分組一致。其中 ${\tilde{d}}_i={\sum }_{k=1,k=i}^{m+n}{a}_{ik}$，${\omega }_{i0}$ 表示圓盤中心 $G_{i0}(j\omega )={\tilde{d}}_i\frac{e^{?j\omega T_i}}{j\omega }\frac{\alpha +\beta j\omega }{j\omega }$ 的奈奎斯特曲線與復平面實軸的交點，同時 $\tan ({\omega }_{i0}{T}_i)=\frac{\beta }{\alpha }{\omega }_{i0}$。

7.4 例子與數值仿真

以上工作，幾經嘗試，未出現一次收斂的情況。

第二天，換一種新思路來進行

當未進行任何更改時（即權重全都保持1，未添加任何時滯，并且為刪除掉不同組的節點狀態），直接出現了收斂狀態。

結果如下圖所示

在此基礎上更改權重后，
狀態信息如下：

速度信息如下：

更改權重之后，再將不同組節點的狀態值刪除掉

更改 aij 為入度

對比之前的發現一個有趣的現象，雖然狀態同樣還是發散，但是分組情況發生了變化。

之前使用出度時，1 4 5 為一組，2 3 為一組；
現在使用入度時，1 2 3 為一組，4 5 為一組。

更改拓撲圖后，結果正確

在此基礎更改入度為出度

在此做個小總結。
首先，系統的一致性研究主要分為以下幾個主要因素：

系統拓撲關系圖

權重的設定

控制協議

輸入時滯的影響

通信時滯的影響

在此基礎上，搭建仿真模型，進行控制協議的驗證。

通過以上幾組實驗對比，可基本得出時由于系統拓撲關系圖不滿足一致性要求所引起的。

書中所給的定理7.1，系統若想一致，需要滿足以下三個條件：

基于入度平衡的假設條件（A1）和（A2）；

當網絡拓撲結構中包含全局可達節點時；

若滿足 ${\tilde{d}}_i(\alpha \cos ({\omega }_{i0}{T}_i)+\beta {\omega }_{i0}\sin ({\omega }_{i0}{T}_i))<\frac{1}{2}{\omega }_{i0}^2$ 成立，則稱系統能漸進實現分組一致。

通過觀察書中所給的系統拓撲關系圖，均滿足以上要求，并且未設置任何時滯，也一定滿足條件（3）。

既然已經滿足上述三個條件，但是還是不能收斂。接下來的實驗，先驗證之前搭建的系統模型沒有問題，之后再研究拓撲圖為什么不能收斂的問題。

之前的模型，將拓撲關系圖更改之后，結果也都正常，包括節點分組情況也正確。
位置信息如下：

速度狀態如下：

保持時滯為零，其他條件與采用第6章實驗2所用拓撲圖條件一致的情況下，僅更改為第7章拓撲圖，還是無法收斂。算是再次驗證了拓撲圖是錯誤的。

7.5 本章小結

18. Ren W, Beard R. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2005, 50(5):655-661.

總結

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