一，二階齊次線性ODE的標準形式：

? ? ? ?

二，通解：

? ? ? ?，和線性無關，即：且

三，問題1：為什么是方程的解？

• 疊加原理：如果、是齊次線性ODE的解（不一定是二階），那么和的線性組合也是方程的解
• 利用線性算子證明疊加原理：

把標準形式化為：

D為微分算子，D表示y被微分一次，表示y被微分兩次

式子也可以表示為，但D和y不是乘積關系，而是D作用于y

為線性算子，用L代替

式子變為：

是一個關于x的函數（黑匣子），輸入，輸出

因為，L的輸出，據此倒推

線性算子L的性質：，

微分算子D也是線性算子，因為求導運算符合線性運算：，

，

四，問題2：為什么是方程所有的解？

• 解初值問題IVP：這樣一組解可以滿足任意初始條件？

設初始條件：，

代入通解，建立方程組：，

要使方程組能解出和，系數矩陣必須可逆，系數矩陣的行列式不能等于0

也就是，這個行列式叫朗斯基行列式

如果和線性相關，那么，方程組要么無解，要么有無窮多解

定理：如果、是二階齊次線性ODE的解，它的解只有兩種可能，一種是，另一種是

證明省略

五，解的正交化

• 通解正交化后得，這里的并非c的導數，而是c的特殊解
• 性質：，，，，
• 例題1：標準解即正交解

設方程：

它的標準解：，

設初始條件：

• 例題2：標準解非正交解

設方程：

特征方程：

解得：

，

通解：

設初始條件：

令，

建立方程組：，

解得：

令，

建立方程組：，

解得：，

六、正交化的優點：

• 如果和在處正交，且初始條件，，那么ODE的特解為，

，

當時，，

七，存在和唯一性定理：

? ? ? ?如果，p和q對所有x都連續，那么滿足初始條件，的，有且只有一個解

八，重復問題2：為什么或是方程所有的解？

• 設初始條件，，
• 取任意一個滿足初始條件的解
• 已知滿足初始條件（見第六、正交化的優點），而也滿足初始條件
• 根據純在和唯一性定理，
• 是方程所有的解

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第十一讲 二阶齐次线性ODE相关理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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